Atvasinājums

 

definīcija. Pieņemsim, ka vismaz vienam skaitlim  izpildās nosacījums . Funkciju f sauc par atvasināmu punktā , ja eksistē robeža

.

Šīs robežas vērtību sauc par funkcijas atvasinājumu punktā  un apzīmē ar . Atvasinājuma atrašanas darbību sauc gan par atvasināšanu, gan par diferencēšanu, tā rezultātā mēs iegūstam jaunu funkciju, kuru sauc par funkcijas f atvasinājumu.

 

Piemērs. Ja , tad .

Saskaņā ar atvasinājuma definīciju mums jāaprēķina robežu

 

.

Tā kā , tad 

Izvērstos matemātiskās analīzes kursos pierāda, kas jāpārvar nosakot konkrētu funkciju atvasinājumus, tāpēc skolas kursā izlīdzas ar dažnedažādām fragmentārām zināšanām, bieži vien korekti nepaskaidrojot, ko īsti pierāda, un ko izmanto kā gatavu recepti bez pierādījuma. Dotajā gadījumā kā gatavu recepti izmantojām, ka

 
 

un cosx ir nepārtraukta funkcija.

 

teorēma. Ja funkcija f(x) ir atvasināma punktā , tad tā ir nepārtraukta šai punktā.

Tā kā funkcija  ir nepārtraukta nulles punktā, bet šai punktā tai neeksistē atvasinājums, tad ne katra punktā nepārtraukta funkcija ir arī atvasināma šai punktā.

Pieņemsim, ka un  ir funkcijas, kurām eksistē  un  un  .

 

Sekojošā tabulā mēs apvienojam svarīgākās īpašības.


Kopīgais robežai ar atvasinājumu

 

            

 

                                                  

 

                                                  

 

 

Atšķirīgais funkcijas robežai un atvasinājumam

 

        

        

                              

 

 

Ja , tad                                  

Ja , tad

Atvasinājums

 

Ieminot akseleratora pedāli, automašīnas motors saņem papildus “barību” un automobīlis paātrina savu gaitu. Piekārtojuma likums te ir vienkāršs degvielas pieplūdumam tiek piekārtots ātrums. Pedālis nelec pa pakāpieniem, bet kustās vienmērīgi, tāpat pieaug degvielas padeve, kur attiecīgi reaģē auto. Mūs interesē izmaiņu straujums jeb, kā to sauc speciālisti dinamika.

 

 

Prakse piespieda un matemātiķi atrada metodi, kā raksturot funkcijas vērtību izmaiņu ātrumu. Vispār, funkcijas vērtību izmaiņu ātrumu vislabāk ir saprast, ja pavēro: mainās funkcijas vērtība, ja tiek izmainīta argumenta vērtība. Nav domāts šīs izmaiņas mērīt lieliem soļiem, jo tad iegūtais rezultāts ir visai nelietojams. Galvenā interese ir par funkcijas vērtības izmaiņu pie ļoti mazas argumenta vērtības izmaiņas. Kas notiek ar funkcijas vērtību gadījumā, ja argumenta vērtības izmaiņa ir bezgalīgi maza. Tā kā mēs pieminējām ātrumu, tad laika lomā te būs argumenta vērtības izmaiņa, bet ceļa lomā būs funkcijas vērtību attiecīgā izmaiņa. Ātrumu parasti rēķina, ceļu dalot ar laiku. Darīsim tāpat un interesēsimies par dalījumu. Tā kā mūs interesē bezgalīgi mazu izmaiņu gadījums, tad izmantosim robežu.

 

 

Apskatīsim auto gadījumu, kur tas, ka kādu brīdi pedāli neviens nekustina, bet auto brauc, nozīmē to, ka ir kāda konkrēta degvielas padeve un attiecīgs ātrums. Piespiedīsim drusku pedāli un dabūsim drusku lielāku ātrumu. Paņemsim starpību starp iepriekšējo degvielas padevi un jauno degvielas padevi, tāpat paņemsim starpību starp iepriekšējo ātrumu un jauno ātrumu. Abas starpības izdalīsim (ceļu ar laiku) degvielas padeves palielinājumu ar ātruma palielinājumu. Tā kā tas notika nevis ar lēcienu, bet plūstoši (tāpat kā lidmašīnai, kura nolaidās), tad painteresēsimies, kas notiek tad, kad degvielas padeve kļūst bezgalīgi maza. Vai mums šajā gadījumā dalījumam ir robeža, vai nav.

 

Sev zināmajām funkcijām varam pievienot vēl vienu. Katrai konkrētai funkcijai, katrai argumenta vērtībai tiek piekārtota robeža funkcijas vērtības izmaiņas dalījumam ar argumenta vērtību izmaiņu pie nosacījuma, ka argumenta vērtību izmaiņas robeža ir nulle (attiecībā uz argumenta izmaiņas vērtībām var atcerēties jebkuru virkni ar arvien mazākiem locekļiem). Šo te jauno funkciju nosauc par funkcijas atvasinājumu.

Modeļi:
Atvasinājums Reitings: 6 Skatījumi: 2370 +

Autors: Anonīms Klase: -