Ekvivalenti
vienādojumi
definīcija.
Divus vienādojumus
A(x1,x2,...,xn)=B(x1,x2,...,xn) (1) un C(x1,x2,...,xn)=D(x1,x2,...,xn) (2)
sauc
par ekvivalentiem vienādojumiem, ja
vienādojuma (1) katra sakne ir vienādojuma (2) sakne un vienādojuma (2) katra
sakne ir arī vienādojuma (1) sakne; bez tam abus vienādojumus sauc par
ekvivalentiem arī tai gadījumā, ja nedz vienādojumam (1), nedz vienādojumam (2)
saknes neeksistē, proti, ja katram (u1,u2,...,un)
A(u1,u2,...,un)
A(u1,u2,...,un) un C(u1,u2,...,un)
D(u1,u2,...,un), tāpat arī katram kortežam (v1,v2,...,vn)
C(v1,v2,...,vn)
D(v1,v2,...,vn) un A(v1,v2,...,vn)
B(v1,v2,...,vn).
teorēma. Ja
Dom(A)=Dom(A+C) un Dom(B)=Dom(B+C),
tad vienādojumi A=B un A+C=B+C ir ekvivalenti.
To,
ka arī pieskaitīšana var radīt dažādas problēmas vislabāk demonstrē sekojošais
piemērs.
Piemērs. Vienādojums
nav ekvivalents ar vienādojumu x=x, ko var iegūt no pirmā vienādojuma tam
abās pusēs pieskaitot
.
– Kāpēc?
– var iesaukties lētticīgāks lasītājs.
Vispirms jāvienojas, kādā kopā vispār tiek
meklēts atrisinājums. Ja tā ir reālo skaitļu kopa, tad skaitlis – 1 nav
vienādojuma
atrisinājums, jo reālo skaitļu kopā
nav definēta, turpretim – 1 ir vienādojuma x = x viens no atrisinājumiem.
teorēma.
Ja Dom(A)=Dom(AC), Dom(B)=Dom(BC) un C(u1,u2,...,un)
0
katram (u1,u2,...,un), tad vienādojumi A=B un
AC=BC ir ekvivalenti.