Ekvivalenti vienādojumi

Ekvivalenti vienādojumi

 

definīcija. Divus vienādojumus

A(x1,x2,...,xn)=B(x1,x2,...,xn) (1) un C(x1,x2,...,xn)=D(x1,x2,...,xn) (2)

 

sauc par ekvivalentiem vienādojumiem, ja vienādojuma (1) katra sakne ir vienādojuma (2) sakne un vienādojuma (2) katra sakne ir arī vienādojuma (1) sakne; bez tam abus vienādojumus sauc par ekvivalentiem arī tai gadījumā, ja nedz vienādojumam (1), nedz vienādojumam (2) saknes neeksistē, proti, ja katram (u1,u2,...,un) A(u1,u2,...,un)A(u1,u2,...,un) un C(u1,u2,...,un) D(u1,u2,...,un), tāpat arī katram kortežam (v1,v2,...,vn)   C(v1,v2,...,vn) D(v1,v2,...,vn) un A(v1,v2,...,vn) B(v1,v2,...,vn).

 

teorēma.  Ja Dom(A)=Dom(A+C) un Dom(B)=Dom(B+C), tad vienādojumi A=B un A+C=B+C ir ekvivalenti.

 

To, ka arī pieskaitīšana var radīt dažādas problēmas vislabāk demonstrē sekojošais piemērs.

 

Piemērs. Vienādojums  nav  ekvivalents ar vienādojumu x=x, ko var iegūt no pirmā vienādojuma tam abās pusēs pieskaitot .

Kāpēc? – var iesaukties lētticīgāks lasītājs.

Vispirms jāvienojas, kādā kopā vispār tiek meklēts atrisinājums. Ja tā ir reālo skaitļu kopa, tad skaitlis – 1 nav vienādojuma  atrisinājums, jo reālo skaitļu kopā  nav definēta, turpretim – 1 ir vienādojuma x = x viens no atrisinājumiem.

 

teorēma. Ja Dom(A)=Dom(AC), Dom(B)=Dom(BC) un C(u1,u2,...,un) 0 katram (u1,u2,...,un), tad vienādojumi A=B un AC=BC ir ekvivalenti.

Rozā nokrāsots zirgs un balts zirgs ir ekvivalenti kā zirgi, bet tomēr dažādi izskatās.

Daudzos gadījumos ir zināma tikai daļa priekšmetu, kuri ir sakrauti dēļu galos, bet daļa var būt atzīmēta ar tukšām kastītēm, kurās var likt iekšā izvēlētos priekšmetus. Kādus priekšmetus ir jāizvēlas, lai tie, ielikti tukšajās kastītēs uz dēļu galiem, atstātu šūpoles līdzsvarā. Tas daudzos gadījumos var būt visai intriģējošs jautājums. Lielākajā daļā gadījumu to var noskaidrot, eksperimentējot ar dažādiem priekšmetiem, bet virknē gadījumu, paskatoties uz zināmajiem priekšmetiem. To, kā tie ir novietoti uz dēļa galiem, var izdomāt bez eksperimentiem, kas ir jāizvēlas likšanai kastītēs, lai šūpoles paliktu līdzsvarā.

 

 

Šo situāciju matemātiķi dēvē par vienādojuma risināšanu un tukšās kastītes par nezināmajiem, kuru vērtības, kas atbilst mūsu izvēlētajiem priekšmetiem, ir jāatrod.

 

Izrādās, ka dēļu galos tukšās kastītes un zināmos priekšmetus var kraut pēc kaut kādiem izvēlētiem noteikumiem, piemēram, vienā dēļa galā var tukšās kastītes kraut tikai pamīšus ar zināmajiem priekšmetiem utt. Lielai daļai šādu viena tipa krāvumu var atrast metodes, kā bez eksperimentiem izvēlēties noteiktus priekšmetus tukšo kastīšu aizpildīšanai. Protams, ka dažādiem krāvumiem atbilst dažādas metodes.

Modeļi:
Ekvivalenti vienādojumi Reitings: 3 Skatījumi: 2221 +

Autors: Anonīms Klase: -