Funkcijas grafiku transformācijas


(i) y=f(x)+b.

  Funkcijas y=f(x)+b grafiku iegūst no dotā funkcijas y=f(x) grafika, pārbīdot to par |b| vienībām:
        a) uz augšu, ja b>0;
        b) uz leju, ja b<0.

 

(ii) y= f(x–a).

  Funkcijas y = f(x–a) grafiku iegūst no dotā funkcijas y=f(x) grafika, pārbīdot to par |a| vienībām paralēli x asij:  
        a) pa labi, ja a>0;
        b) pa kreisi, ja a<0.

 

(iii) y=|f(x)|.

Funkcijas y=|f(x)| iegūst no dotā funkcijas y=f(x) grafika, izmainot simetriski pret x asi tikai to grafika y=f(x) daļu, kas atrodas zem x ass.

 

 (iv) y=kf(x).

  Funkcijas y=kf(x) grafiku iegūst no dotā funkcijas y=f(x) grafika:
        a) izstiepjot to k reizes y ass virzienā, ja k >1;
        b) saspiežot to 1/k reizes y ass virzienā, ja 0        c) attēlo simetriski pret x asi un tad saspiež to 1/|k| reizes y ass virzienā, ja –1        d) attēlo simetriski pret x asi, ja k= –1;
        e) attēlo simetriski pret x asi un tad izstiepj to |k| reizes y ass virzienā, ja k< –1.
       

 

(v) y=f(cx).

 

  Funkcijas y=f(cx) grafiku iegūst no dotā funkcijas y=f(x) grafika:
        a) saspiežot to c reizes paralēli x asij, ja c>1;
        b) izstiepjot to 1/c reizes paralēli x asij, ja 0        c) attēlo simetriski pret y asi un tad to izstiepj 1/c reizes paralēli x asij, ja –1        d) attēlo simetriski pret y asi, ja c= –1;
        e) attēlo simetriski pret x asi un tad saspiež to |c| reizes paralēli x asij, ja c< –1.

 

Piemērs. Kā konstruēt funkcijas y=||x - 3| - 3| grafiku?

a)    Konstruēt funkcijas y=x grafiku.

 

 

b)    Saskaņā ar (iii) no grafika y=x konstruēt funkcijas

y = |x| grafiku.

 

 

c)     Saskaņā ar (ii c) no grafika y=|x| konstruēt funkcijas

y= |x - 3| grafiku.

 

 

d)    Saskaņā ar (i b) no grafika y = |x - 3| konstruēt funkcijas

 y= |x - 3| – 3 grafiku.

 

 

e)    no grafika  y= |x - 3| – 3 konstruēt funkcijas (skatīt (iii))

  y= ||x - 3| – 3| grafiku.

 


Visi pazīst vilcienu sarakstu, kurā ir norādīts, cikos vilciens atiet no katras stacijas. Ja paziņo, ka vilciens turpmāk aties no sākuma stacijas stundu vēlāk, tad visu sarakstu ir vienkārši pārtaisīt, katram atiešanas laikam pieliekot vienu stundu. Šo metodi lieto funkciju grafiku bīdīšanai gadījumos, kad zina pamata vai tā saucamo izejas grafiku.

 

Pirms atbildīga darba vienmēr der sagatavoties, un tāpēc paņemsim divas koordinātu asis, kas krustojas taisnā leņķī. Vienkāršības dēļ uz abām, vienādi sākot no krustpunkta, atzīmēsim mēriedaļas. Uzvilksim līkni uz caurspīdīgas plēves, uzliksim šo plēvi uz lapas ar uzzīmētajām koordinātu asīm un uzskatīsim, ka tas ir ar f (x) apzīmētās funkcijas grafiks. Uzmanība ir jāpievērš tam apstāklim, ka tā ir tieši f(x), bet nevis f(3x), f(x+3), f 2(x) utt.

 

Ja Jānis pērk tīru ūdeni, tad viņš izvēlas tīru ūdeni nevis ūdeni ar burbuļiem, saldinātu, mineralizētu vai kādu citu. Tagad, kad Jānim ir ūdens, tad var sākt skatīties, kas notiek, ja tam pievieno vērmeles vai sīrupu.

 

Skaidrības labad noliksim līdzās vilcienu sarakstu, lai kaut kas nesajuktu. Vilciena saraksts laikam piekārto staciju, no kuras vilciens atiet šajā laikā.

 

Atzīmējam, kurās vietās mūsu uzvilktā līkne – f(x) grafiks, krusto x asi un y asi, kur līkne ir zem x ass un kur tā ir virs.

 

f(x + a)

 

Funkcijas vērtības mums būs stacijas (attālumi līdz tām), bet laiks argumenta vērtības.

Vilciens atgājis divas stundas agrāk, skatāmies kur atrodas vilciens pēc saraksta. Ja pulkstenis rāda deviņi, tad notiek tas, kam bija jānotiek vienpadsmitos, bet, ja pulkstenis rāda trīs, tad notiek tas, kam bija jānotiek piecos utt. Tātad, ja vilcienam no Tibijas stacijas ir jāatiet pulksten sešos pēc saraksta, tad tagad tam ir jāatiet pulksten četros.

 

Apskatām līkni f(x+a) gadījumā. Arī visai līknei tāpat būtu jāpabīdās pa x asi uz kreiso pusi. Pašlaik visa saruna bija par to, ka divas stundas ir jāpieliek nevis jātņem, tāpat arī a ir šajā piemērā domāts lielāks par 0. Viegli ievērot, ka, laižot vilcienu divas stundas agrāk, viss vilcienu saraksts it kā pabīdās pa labi nevis pa kreisi un tas pats notiek ar līkni, kas pavirzās a iedaļas pa kreisi. Uzmanību! Lineārām funkcijām bīdīšana uz augšu/leju dod ekvivalentu rezultātu bīdīšanai pa kreisi/labi, bet citām funkcijām šīs bīdīšanas dod būtiski atšķirīgus rezultātus.

f(ax)

 

Tagad būs pavisam traki, jo katru pulksteņa rādījumu būs jāreizina ar, piemēram, divi, trīs vietā būs seši, bet piecu vietā būs desmit. Vilciens ies divas reizes ātrāk. Tagad paskatīsimies, kas notiek, ja f(ax). Ja skatāmies uz līkni, tad ievērojam, ka tajā vietā, kur līkne krusto y asi x ir 0 un a0 = 0, kas nozīmē to, ka šī vieta nu gan nekustēsies ne par matu, toties viss pārējais tāpat kā vilciena sarakstā notiek a reizes ātrāk un līkne no abām pusēm saspiežas uz y ass pusi. Protams, tas viss der, ja a > 1 un ir pozitīvs. Ja a < 1, tad viss notiks aa < 0 līkne ap y asi apmetas kā vēja rādītājs, jo tie x, kas bija pozitīvi kļūst negatīvi un otrādi. reizes vēlāk un līkne izstiepsies kā noguris tārps, bet tad, kad

Ja neticat, tad paskatieties uz vilciena sarakstu. Par negatīvu laiku raksta tikai fantastikas grāmatās, taču ja mums atiešanas laiki tādā fantastiskā sarakstā ir uzdoti negatīvi, tad pareizinot tos ar, piemēram, –3 iegūstam visnotaļ reālu vilciena sarakstu ar normāliem atiešanas laikiem.

f(x)+a

 

Tagad apskatīsim gadījumu, kurā vilcieni it kā pārlec pa kādai stacijai uz priekšu vai atpakaļ. Ņemam atkal savu vilciena sarakstu un uzskatām, ka tagad Tibijas stacijas vietā, no kuras vilcienam ir jāatiet pulksten sešos ierakstīsim nākamo – Mobas staciju utt. Iznāks, ka no dažām sākuma stacijām vilciens vispār neaties, bet, ja uzskatām, ka vilciens noteikti brauc kādu stundu skaitu, tad kādas stacijas var pietrūkt.

 

Līknes gadījumā f(x)+a katra funkcijas vērtība tiek palielināta (protams, ja a > 0) par a un viss līkums pabrauc gar y asi uz augšu tieši par a iedaļām. Ja a < 0, tad visa līkne brauc uz leju.

 

af(x)

 

Ja nu vienas vai dažu staciju vietā mūsu sienāžvilciens sāks lēkt uz vairāk reižu tālākām stacijām, tad var iznākt, ka gala stacijā mēs nonākam laikā, kad bija paredzēts tikai nonākt nākošajā stacijā.

 

Līknes gadījumā af(x) nozīmē katras funkcijas vērtības palielināšanu a reizes (ja a<1, tad attiecīgi samazināšanu) un līkumu izstiepj gar y asi, bet visi tie punkti, kuros līkne krustoja x asi paliek uz vietas, jo uz x ass kā zināms y = 0, ay = a0 = 0.

Ja a < 0, tad visa līkne kā vēja rādītājs, apmetas ap x asi.

 

Modeļi:
Funkcijas grafika transformācijas Reitings: 4 Skatījumi: 3100 +

Autors: Anonīms Klase: -