Vispār, ja grib runāt tālāk par matemātiku, ir jāmācās domāt “kustīgi”. Ko tas nozīmē? Ja brauc ar pirkstu pa apli krūzītes iekšpusē katrs var sajust, ka tā var braukt neierobežoti ilgi. Lidmašīna nolaižas, tās riteņu attālums līdz zemei dilst un dilst, un katru brīdi, kad varētu uz lineāla atzīmēt kaut kādu ļoti mazu attālumu, jau pēc brīža riteņi būtu zemāk par to. Tādējādi var iegūt priekšstatu par bezgalību un bezgalīgi maziem lielumiem. Ja intuitīvi liekas, ka, fiksējot jebkuru momentu, nākošajā brīdī būs kaut kas vēl mazāks vai lielāks par fiksēto, un šo var atkārtot un atkārtot, un iegūt atkal to pašu, tad varam droši izteikt aizdomas, ka esam sadūrušies ar bezgalību. Lidmašīnas gadījumā, ja tā tiešām nolaižas, tā noteikti sasniegs zemi, un riteņu attālums līdz tai būs nekāds jeb nulle. Šādā gadījumā var teikt, ka šim procesam ir robeža jeb kaut kāds gals. Krūzītes gadījumā vienmēr vēl var nobraukt ar pirkstu vēl un vēlreiz, kas atkal nozīmē tikai to, ka gala nav un robežas nav.

Tāpat varam ņemt glāzi ūdens un sadalīt to uz pusēm, tad vēl uz pusēm utt. Šajā gadījumā rezultāts būs tāds pats kā ar lidmašīnu.

Pamēģināsim pāriet pie skaitļiem. Glāzes gadījumā mēs varam uzskatīt, ka sākam ar 1, jo ir viena pilna glāze (var sākt arī ar diviem simtiem, jo parasti tik daudz mililitru tajā ietilpst). Pārnesot aprakstīto procesu uz skaitļiem, iegūstam šādu ainu: 1:2, ½:2, ¼:2, 1/8:2, ..., 1/2ⁿ:2,..., kur ar n apzīmējam vienkāršu naturālu skaitli, kas mums būs kārtējā soļa numurs. Skaidri redzams, ka ar katru soli rezultāts kļūst mazāks un mazāks.

Tagad ir būtiski vienoties par to, ko mēs sapratīsim ar patvaļīgu izvēli. Patvaļīga izvēle tīri intuitīvi nozīmē tieši to pašu, tātad ņemam ko gribam, galvenais ir tikai tas, lai gribētais atrastos. Par to, ka var nosaukt jebkādu mazu un vēl mazāku skaitli, īpašu šaubu nevarētu būt, jo jebkura daļskaitļa saucējam mēs varam piemest kādu nulli klāt, bet nuļļu skaitu mums neviens nav ierobežojis. Ja tiešām mēs varam katrā brīdī nosaukt kaut ko vēl mazāku, tad varam sākt sarunu par procesa novērtējumu.

Ja mēs šo procesu esam noveduši līdz skaitļu virknei, kā glāzes gadījumā, tad varam domāt par robežas jēdzienu matemātiķu izpratnē. Ja mums ir aizdomas, ka virknes robeža ir kaut kāds skaitlis, tad ņemam kārtējo virknes locekli un atņemam no šā skaitļa, līdz ar to dabūjam starpību līdz skaitlim, kurš mums izliekas, ka derēs par robežu. Tā kā vienojāmies, vienmēr varam izvēlēties kaut ko mazu, vēl mazāku utt., tad skatīsim, vai katrai šādai izvēlei vienmēr atradīsies kāds tālāks virknes loceklis, kura starpība ar robežas kandidātu būs mazāka par izvēlēto skaitli.

Ja šādi varam turpināt un turpināt tāpat kā, braucot ar pirkstu pa glāzi, bet rezultāts ir viens un tas pats: vienmēr būs kaut kāds tālāks virknes loceklis, kura starpība ar robežas kandidātu būs mazāka par izvēlēto skaitli, vienalga cik mazu, tad ir pamats teikt, ka kandidāts cerības ir attaisnojis un ir saucams par šīs virknes robežu. Glāzes gadījumā robeža tāpat kā lidmašīnai ir nulle.

Katram ir zināms, ka visos gadījumos patīkamāk ir lietot tos instrumentus, ar kuriem prot apieties. Ir gadījumi, kuros pat citu instrumentu nav, bet rezultāts ir vajadzīgs. Pavisam vienkāršs piemērs – jāizmēra buras laukums, bet bura nebūt nav taisnstūris vai trijstūris, tā parasti ir ar liektām malām. Lai tas galīgi nemulsinātu, paņemsim kaut ko vienkāršāku – riņķi. Kvadrātam laukumu aprēķināt, ja zināms malu garums, protam. Kvadrātu ievelkam riņķī, izmēram malu, izrēķinām laukumu, bet tas ir mazāks par riņķa laukumu, jo ir vēl daudz brīvas vietas starp riņķa malu un kvadrāta malām. Tajās saliekam daudz vienādus mazākus kvadrātiņus un izmēram tiem malu. Izrēķinām mazā kvadrāta laukumu un saskaitām, cik tādu ir, un pieliekam pie lielā kvadrāta laukuma. Nu jau iegūtais laukums ir tuvāks reālajam riņķa laukumam. Tomēr vēl gar malām ir brīvas vietas, un tāpēc ņemam vēl mazākus kvadrātiņus un atkal... Šādi darbojoties līdz bezgalībai (ja to visu darīs galīgu skaitu reižu, tad vienmēr varēs atrast kādas brīvas vietas, ļoti mazas, bet brīvas) riņķi var piebāzt ar kvadrātiem, kur šo kvadrātu kopējais laukums (robeža) ir tieši riņķa laukums.