Vispār, ja grib runāt tālāk par matemātiku, ir jāmācās
domāt “kustīgi”. Ko tas nozīmē? Ja brauc ar pirkstu pa apli krūzītes iekšpusē
katrs var sajust, ka tā var braukt neierobežoti ilgi. Lidmašīna nolaižas, tās
riteņu attālums līdz zemei dilst un dilst, un katru brīdi, kad varētu uz
lineāla atzīmēt kaut kādu ļoti mazu attālumu, jau pēc brīža riteņi būtu zemāk
par to. Tādējādi var iegūt priekšstatu par bezgalību un bezgalīgi maziem
lielumiem. Ja intuitīvi liekas, ka, fiksējot jebkuru momentu, nākošajā brīdī būs
kaut kas vēl mazāks vai lielāks par fiksēto, un šo var atkārtot un atkārtot, un
iegūt atkal to pašu, tad varam droši izteikt aizdomas, ka esam sadūrušies ar
bezgalību. Lidmašīnas gadījumā, ja tā tiešām nolaižas, tā noteikti sasniegs
zemi, un riteņu attālums līdz tai būs nekāds jeb nulle. Šādā gadījumā var
teikt, ka šim procesam ir robeža jeb kaut kāds gals. Krūzītes gadījumā vienmēr
vēl var nobraukt ar pirkstu vēl un vēlreiz, kas atkal nozīmē tikai to, ka gala
nav un robežas nav.
Tāpat varam ņemt glāzi ūdens un sadalīt to uz pusēm, tad
vēl uz pusēm utt. Šajā gadījumā rezultāts būs tāds pats kā ar lidmašīnu.
Pamēģināsim pāriet pie skaitļiem. Glāzes gadījumā mēs
varam uzskatīt, ka sākam ar 1, jo ir viena pilna glāze (var sākt arī ar diviem
simtiem, jo parasti tik daudz mililitru tajā ietilpst). Pārnesot aprakstīto
procesu uz skaitļiem, iegūstam šādu ainu: 1:2, ½:2, ¼:2, 1/8:2, ..., 1/2n:2,...,
kur ar n apzīmējam vienkāršu naturālu
skaitli, kas mums būs kārtējā soļa numurs. Skaidri redzams, ka ar katru soli
rezultāts kļūst mazāks un mazāks.
Tagad ir būtiski vienoties par to, ko mēs sapratīsim ar
patvaļīgu izvēli. Patvaļīga izvēle tīri intuitīvi nozīmē tieši to pašu, tātad
ņemam ko gribam, galvenais ir tikai tas, lai gribētais atrastos. Par to, ka var
nosaukt jebkādu mazu un vēl mazāku skaitli, īpašu šaubu nevarētu būt, jo
jebkura daļskaitļa saucējam mēs varam piemest kādu nulli klāt, bet nuļļu skaitu
mums neviens nav ierobežojis. Ja tiešām mēs varam katrā brīdī nosaukt kaut ko
vēl mazāku, tad varam sākt sarunu par procesa novērtējumu.
Ja mēs šo procesu esam noveduši līdz skaitļu virknei, kā
glāzes gadījumā, tad varam domāt par robežas jēdzienu matemātiķu izpratnē. Ja
mums ir aizdomas, ka virknes robeža ir kaut kāds skaitlis, tad ņemam kārtējo
virknes locekli un atņemam no šā skaitļa, līdz ar to dabūjam starpību līdz
skaitlim, kurš mums izliekas, ka derēs par robežu. Tā kā vienojāmies, vienmēr
varam izvēlēties kaut ko mazu, vēl mazāku utt., tad skatīsim, vai katrai šādai
izvēlei vienmēr atradīsies kāds tālāks virknes loceklis, kura starpība ar
robežas kandidātu būs mazāka par izvēlēto skaitli.
Ja šādi varam turpināt un turpināt tāpat kā, braucot ar
pirkstu pa glāzi, bet rezultāts ir viens un tas pats: vienmēr būs kaut kāds
tālāks virknes loceklis, kura starpība ar robežas kandidātu būs mazāka par
izvēlēto skaitli, vienalga cik mazu, tad ir pamats teikt, ka kandidāts cerības
ir attaisnojis un ir saucams par šīs virknes robežu. Glāzes gadījumā robeža
tāpat kā lidmašīnai ir nulle.
Katram
ir zināms, ka visos gadījumos patīkamāk ir lietot tos instrumentus, ar kuriem
prot apieties. Ir gadījumi, kuros pat citu instrumentu nav, bet rezultāts ir
vajadzīgs. Pavisam vienkāršs piemērs – jāizmēra buras laukums, bet bura nebūt
nav taisnstūris vai trijstūris, tā parasti ir ar liektām malām. Lai tas galīgi
nemulsinātu, paņemsim kaut ko vienkāršāku – riņķi. Kvadrātam laukumu aprēķināt,
ja zināms malu garums, protam. Kvadrātu ievelkam riņķī, izmēram malu, izrēķinām
laukumu, bet tas ir mazāks par riņķa laukumu, jo ir vēl daudz brīvas vietas
starp riņķa malu un kvadrāta malām. Tajās saliekam daudz vienādus mazākus
kvadrātiņus un izmēram tiem malu. Izrēķinām mazā kvadrāta laukumu un saskaitām,
cik tādu ir, un pieliekam pie lielā kvadrāta laukuma. Nu jau iegūtais laukums
ir tuvāks reālajam riņķa laukumam. Tomēr vēl gar malām ir brīvas vietas, un
tāpēc ņemam vēl mazākus kvadrātiņus un atkal... Šādi darbojoties līdz
bezgalībai (ja to visu darīs galīgu skaitu reižu, tad vienmēr varēs atrast
kādas brīvas vietas, ļoti mazas, bet brīvas) riņķi var piebāzt ar kvadrātiem,
kur šo kvadrātu kopējais laukums (robeža) ir tieši riņķa laukums.