Par teorijām vispār

Piemēram, esam izvēlējušies spēlēties ar LEGO klucīšiem. To mums ir nedaudz, un arī to savienošana ir iespējama tikai tā, kā to atļauj mazās tapiņas un caurumi tajos. Tā var uzbūvēt mājas, traktorus un citas lietas. Varam uzbūvēt arī no mazākiem dažādus lielākus būvklučus, kurus varam tālāk izmantot, piemēram, daudzstāvu mājā uzreiz liekot iepriekš sabūvētus ārsienas gabalus ar visu logu.

Gluži tāpat kā LEGO klucīšu māja, tiek būvētas dažādas teorijas, kuras sākotnējais materiāls ir aksiomas. Savukārt “klucīšu” savienošanas iespējas ir izveduma likumi jeb noteikumi, kas nosaka kā var lietot aksiomas. Līdzīgi kā iepriekš varējām uzbūvēt veselas sienas gabalus ar logu, varam kaut ko sakombinēt no aksiomām. Šādu lielāku kluci nosauc par teorēmu, kur to tālāk var izmantot kopā ar aksiomām kā būvmateriālu. Šādi var turpināt un turpināt. LEGO lielākus klučus var salikt tikai tādus, kādus atļauj salikt mazāku klucīšu komplekts un jau lielāki sabūvēti kluči, un, protams, caurumi un tapas tajos.

Protams, tāpat kā LEGO, teoriju būvējot, klāt neliekam neko tādu, ko nevaram dabūt no sākotnējiem klucīšiem. Tāpat kā LEGO spēlē ir jādomā, kā salikt mazos klucīšus, lai dabūtu, ko vajag, un tāpat ir pareizi jāizvēlas, kā piemērā par sienas gabalu ar logu, jo, ja iepriekš vairumā sagatavotie sienas gabali ar logiem labi neliksies kopā ar mājas stāviem, tad tie izrādīsies veltīgi būvēti. Teorēmas parasti izsaka kādas teorijas īpašības, kuras var tālāk lietot, lai katru reizi nebūtu šī īpašība jākonstatē no jauna. Ja esam pareizi trāpījuši, tad tā mums var būt ļoti noderīga, ja nē, tad nu nekā.

Par pierādījumiem un izvedumiem

Ja ir kāda māja, kuru Jānis lepni dēvē par uzbūvētu no LEGO klucīšiem, tad, lai par to pārliecinātos, mums ir divi ceļi:

1.    paņemt LEGO klucīšus, jau uzbūvētās detaļas un no tā visa uzbūvēt tieši tādu pašu māju, kāda ir Jānim. Šo metodi dēvē par tiešo pierādījuma metodi;

2.    pieņemt, ka tādu māju no šiem klucīšiem uzbūvēt nevar (ja pieņem, ka nevar uzbūvēt kaut ko tādu, ko patiešām var uzbūvēt, tad tas norāda uz absurdu), un parādīt, ka tādā gadījumā nevar uzbūvēt kaut ko jau iepriekš zināmu vai novest situāciju līdz tādam absurdam, ka vienam vientapas un viencauruma klucītim ir jāpievieno trīs klucīši reizē, šo metodi dēvē par pierādīšanu, izejot no pretējā. 

Formulas reizēm iegūst kā teorēmas, bet reizēm tās vienkārši izved jeb dara to pašu, ko ar tiešā pierādījuma metodi.

Teorēmas un formulas vislabāk zināt no galvas, jo kontroldarbu laikā nav tik daudz laika, lai to tērētu izvedumam vai formulas meklēšanai rokasgrāmatā, ja tas ir atļauts. Protams, ir jāzina kā tās iegūst.