Trigonometriskās funkcijas

definīcija. Vienības riņķa līnijas punkta P(x,y) ordinātu y sauc par leņķa  sinusu, bet abscisu x – par kosinusu, ja leņķa  virsotne atrodas koordinātu plaknes sākumpunktā, pirmā mala sakrīt ar abscisu ass pozitīvo pusasi, bet otrā mala krusto vienības riņķa līniju punktā P(x,y):

 

;    .

Ja , tad skaitli sauc par leņķa a tangensu, ja turpretī , tad skaitli  sauc par leņķaa kotangensu.

 

Nākošās definīcijas ir noderīgas, lai varētu korekti nodefinēt dažas inversās funkcijas (mūsu gadījumā trigonometriskajām funkcijām).

 
definīcija. Ja X1 ir X2 apakškopa, f(x) un g(x) divas funkcijas, kuru argumenti tiek ņemti no kopām X1 un X2, bet vērtības no Y un visiem x no X1  f(x)=g(x), tad funkciju f sauc par funkcijas g ierobežojumu kopā X1.

 

definīcija. Funkciju f : X1Y sauc par funkcijas g : X2Y ierobežojumu kopā X1 , ja X1X2  un .

 

Šajā situācijā mēdz lietot apzīmējumu  f = g.

 

definīcija. Ja visiem x no kopas X eksistē tāds y no kopas Y, ka f(x)= y, tad funkciju f sauc par visur definētu kopā X.

 

definīcija. Funkciju f=(X,Y,F) sauc par visur definētu, ja .

 

Trigonometrisko funkciju (sinx, cosx, tgx, ctgx) apvērstās/inversās funkcijas definē tikai tiem argumentiem, kuri nāk no kopas, kas aprakstīta aiz vertikālās svītras, kas (ja atceramies iepriekš teikto) ir ierobežojums. Tas tiek darīts, lai izvairītos no sarežģījumiem.

definīcija. Funkcijas y= inverso funkciju sauc par arksinusu. Raksta y=arcsinx, lasa “y ir arksinuss no x”.

 

definīcija. Funkcijas y=cos inverso funkciju sauc par arkkosinusu. Raksta y=arccos x, lasa “y ir arkkosinuss no x”.

 

definīcija. Funkcijas y= tgx inverso funkciju sauc par arktangensu. Raksta y= arctg x, lasa “y ir arktangenss no x”.

 

definīcija. Funkcijas y= inverso funkciju sauc par arkkotangensu. Raksta y= arcctg x, lasa “arkkotangenss no x”.

Vēl ir dažas elementārās funkcijas, kuras ir visai populāras un kuru pirmsākumi nāk no būvniecībā derīgās ģeometrijas. Šīs funkcijas sākotnēji katram šauram leņķim piekārtoja taisnleņķa trijstūra dažādu malu garumu dalījumu rezultātus. Leņķus mērīja grādos, bet dalījumi bija skaitļi. Ar laiku ieviesa loka garumu un trijstūru vietā paņēma citu modeli. Skaitļiem tagad jau piekārtoja skaitļus. Vispār, lai neķēpātos ar trijstūriem un grādiem, izmantoja jau zināmās Dekarta koordinātas. Iesprauda cirkuli koordinātu asu krustpunktā un caur attāluma atzīmi apvilka riņķi (riņķa rādiuss ir viens). Tālāk ar pirkstu varēja vilkt pa un pret pulksteņa rādītāja virzienam. Ja vilka perpendikulāri x asij no punkta, tad dabūja punkta koordinātu uz x ass, bet, velkot perpendikulāri y asij, tad attiecīgi – punkta koordinātu uz y ass. Pirksts pa to laiku pa riņķi ir nobraucis kādu loku ar konkrētu garumu.

 

 

Tagad pavingrināsimies pareizi rindot īstos vārdus, lai noformulētu vairākus simtus gadu izturējušus piekārtojuma likumus – funkcijas.

 

Ja loka garumam piekārto punkta koordinātas vērtību uz y ass (ja riņķa rādiuss ir viens, jo citādāk šo koordinātas vērtību nāktos dalīt ar riņķa rādiusa garumu), tad saka, ka funkcija ir sinuss funkcija un raksta sin.

 

Apvērstajā funkcijā skaitli uzskata par kaut kādam lokam atbilstoša punkta koordinātu uz y ass un prasa piekārtot skaitli, kas atbilst nepieciešamā loka garumam, šo apvērsto funkciju sauc par arksinuss un raksta arcsin.

 

 

Ja loka garumam piekārto punkta koordinātas vērtību uz x ass (ja riņķa rādiuss ir viens, jo citādāk šo koordinātas vērtību nāktos dalīt ar riņķa rādiusa garumu), tad saka, ka funkcija ir kosinuss funkcija un raksta cos.

 

Apvērstajā funkcijā skaitli uzskata par kādam lokam atbilstoša punkta koordinātu uz x ass un prasa piekārtot skaitli, kas atbilst nepieciešamā loka garumam, šo apgriezto funkciju sauc par arkkosinuss  un raksta arccosin.

 

Ja loka garumam piekārto punkta koordinātas vērtību uz y ass dalījumu ar šā paša punkta koordinātas vērtību uz x ass, tad saka, ka funkcija ir tangenss funkcija un raksta tg.

 

Apvērstajā funkcijā skaitli uzskata par kādam lokam atbilstoša punkta koordinātas uz y ass dalījumu ar šā paša punkta koordinātu uz x ass un prasa piekārtot skaitli, kas atbilst nepieciešamā loka garumam, šo apvērsto funkciju sauc par arktangenss un raksta arctg.

 

Ja loka garumam piekārto punkta koordinātas vērtību uz x ass dalījumu ar šā paša punkta koordinātas vērtību uz y ass, tad saka, ka funkcija ir kotangenss funkcija un raksta ctg.

 

Apvērstā funkcija liek skaitli uzskatīt par kādam lokam atbilstoša punkta koordinātas dalījumu uz x ass ar šā paša punkta koordinātu uz y ass un prasa piekārtot skaitli, kas atbilst nepieciešamā loka garumam, šo apvērsto funkciju sauc par arkkotangenss un raksta arcctg.

 

Varēja netērēt papīru un laiku, lai aprakstītu šīs funkcijas, taču tas tika darīts, lai mazliet atcerētos, kā ir jālasa piekārtojuma likums – kas tiek ņemts vispirms un kas un kā tiek piekārtots. Šāda lasīt prasme dod iespēju daudzos gadījumos saprast it kā nesaprotamas lietas, it sevišķi, uzdevumos.

 

Modeļi:
Trigonometriskās funkcijas Reitings: 5 Skatījumi: 2326 +

Autors: Anonīms Klase: -